1. 数学补充知识
1.1 矢量的标积
两个矢量 \(\mathbf A,\mathbf B\) 的标积，书写和定义为
$$
\mathbf A \cdot \mathbf B = AB\cos\phi
$$
其中 \(\phi\) 是 \(\mathbf A\) 与 \(\mathbf B\) 间的夹角。
标积在力学中有着重要的应用，计算力的做功便是一例。质点在运动中的一段无限小的位移矢量若记为 \(\Delta\mathbf l\)，其间受力 \(\mathbf F\)，力 \(\mathbf F\) 在此过程中对质做的功 \(\Delta \mathbf W\) 定义为
$$
\Delta W = \mathbf F \cdot \Delta \mathbf l
$$
1.2 矢量的矢积
三维空间两个矢量 \(\mathbf A, \mathbf B\) 的矢积，书写和定义为
$$
\mathbf A \times \mathbf B = \mathbf C
$$
其中 \(C\) 的大小为 \(AB \sin \phi\) ，\(C\) 的方向或由右手系确定。在几何上 \(C\) 的值等于矢量 \(\mathbf A, \mathbf B\) 形成的平行四边形的面积。
矢积有些基本性质，如
$$
(\alpha \mathbf A)\times \mathbf B = \alpha(\mathbf A \times \mathbf B)
$$
$$
\mathbf A \times \mathbf B = - \mathbf B \times \mathbf A
$$
$$
(\mathbf A_1 + \mathbf A_2) \times \mathbf B = \mathbf A_1 \times \mathbf B + \mathbf A_2 \times \mathbf B
$$
矢积只能在 3 维空间中进行，矢积点行列式表达式
$$
\mathbf A \times \mathbf B = \left | \begin{matrix}
\mathbf i & A_x & B_x \\
\mathbf j & A_y & B_y \\
\mathbf k & A_z & B_z \\
\end{matrix} \right |
$$
在电学中，电量为 \(q\) 、速度为 \(v\) 的粒子在磁场中所受洛伦兹力可表述为
$$
\mathbf F = q \mathbf v \times \mathbf B
$$
其中 \(\mathbf B\) 是粒子所在处磁场的磁感应强度。
1.3 矢量的三重积
3 维空间中 3 个矢量间形如
$$
\mathbf A \cdot (\mathbf B \times \mathbf C)
$$
的运算，称为矢量的三重标积，所得是个标量。从空间角度上，3 个不共面的矢量三重标积的绝对值，等于 3 个矢量构成的平行六面体体积。考虑到标积等于矢量分量乘积之和，结合矢积的行列式表述，可导得三重标积点行列式表述：
$$
\mathbf A \cdot (\mathbf B \times \mathbf C) =
\begin{vmatrix}
A_x & B_x & C_x \\
A_y & B_y & C_y \\
A_z & B_z & C_z
\end{vmatrix}
$$
利用行列式的展开，进而可得三重标积点循环可交换性，既有
$$
\mathbf A \cdot (\mathbf B \times \mathbf C) = \mathbf B \cdot (\mathbf C \times \mathbf A) = \mathbf C \cdot (\mathbf A \times \mathbf B)
$$
3 维空间中 3 个矢量间形如
$$
\mathbf A \times (\mathbf B \times \mathbf C)
$$
的运算，称为矢量的三重矢积，所得是个矢量。为了简化推导过程，在空间上沿着 \(\mathbf B\) 方向设置 x 轴，于是便有
$$
\begin{aligned}
\mathbf B &= B_x \mathbf i, \\
\mathbf C &= C_x \mathbf i + C_y \mathbf j \\
\mathbf A &= A_x \mathbf i + A_y \mathbf j + A_z \mathbf k
\end{aligned}
$$
\(\mathbf A, \mathbf B, \mathbf C\) 的三重矢积展开如下
$$
\begin{aligned}
\mathbf A \times (\mathbf B \times \mathbf C) &=(A_x\mathbf i + A_y\mathbf j + A_z \mathbf k) \times [(B_x\mathbf i) \times (C_x \mathbf i + C_y \mathbf j)] \\
&= (A_x\mathbf i + A_y\mathbf j + A_z \mathbf k) \times(B_xC_y\mathbf k) \\
&= -A_xB_xC_y \mathbf j + A_yB_xC_y\mathbf i \\
&= -A_xB_xC_y \mathbf j + A_yB_xC_y\mathbf i + A_xB_xC_x\mathbf i - A_xB_xC_x\mathbf j ~(凑成 \mathbf B 和\mathbf C的线性表达式) \\
&=(A_xC_x + A_yC_y)B_x\mathbf i -A_xB_x(C_x\mathbf i + C_y\mathbf j)
\end{aligned}
$$
既得
$$
\mathbf A \times (\mathbf B \times \mathbf C)=(\mathbf A \cdot \mathbf C) \mathbf B - (\mathbf A \cdot \mathbf B) C
$$
1.4 微分
\(\text{d} x\) 是无穷小量，但不是零。在连续区域内，自变量增量取微分 \(\text{d}x\) 时，函数增量称为函数微分，记为 \(\text{d}y\)，它也是无穷小量，两者之间的关系为
$$
\text{d}y = y(x + \text{d}x) - y(x)
$$
1.5 微商（导数）
自变量微分去除函数对应的微分，称为函数的微商，记作
$$
y’(x) = \frac{\text{d}y}{\text{d}x}
$$
函数泰勒展开
导数可以用来将函数展开成幂级数的形式。
